Historical formation and student undestanding of mathematics

 Luis Radford  

Por: José Luis Morales Reyes

Reseña biográfica

Luis Radford

Tomada de http://www.mathunion.org/icmi/news/

Luis Radford nació en Guatemala. Después de graduarse de la Universidad de San Carlos, se trasladó a Francia, donde estudió matemáticas en la Universidad Louis Pasteur de Estrasburgo y recibió su Doctorado en Educación Matemática. En la década de 1990, se trasladó a Canadá y actualmente es profesor de tiempo completo en la Universidad Laurentian en Sudbury, Ontario. Es profesor en la École des Sciences de l'éducation, en el programa de formación de los profesores y lleva a cabo investigación en el aula con los maestros en los niveles comprendidos entre preescolar y secundaria. Sus intereses de investigación incluyen el desarrollo del pensamiento algebraico, la relación entre la cultura y el pensamiento, la epistemología de las matemáticas, y la semiótica.

Es además miembro del consejo editorial de varias revistas internacionales, como Pensamiento Matemático y Aprendizaje, Recherches en didáctica des Mathématiques, Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, PNA, Avances de Investigación en Educación Matemática.

Recibió el Premio a la Excelencia de Investigación de la Universidad Laurentian para 2004-05 y el ICMI Hans Freudenthal 2011 Medalla. (Laurentian University, http://laurentian.ca/profs/lradford)

Resumen: El uso de la historia de la matemática en la enseñanza y aprendizaje requiere de reflexiones didácticas. Un área crucial de explorar y analizar es la relación entre cómo los estudiantes logran entender matemática y la construcción histórica del pensamiento matemático.

La historia de la matemática puede ser utilizada como un recurso para entender los procesos de formación del pensamiento matemático, y para explorar el camino a través del cual este conocimiento puede ser utilizado en el diseño de actividades.

Este es el espíritu que han tenido en la última década algunos educadores matemáticos, al utilizar la historia de la matemática como un recurso. Sin embargo, esto demanda que los educadores estén equipados con una clara formación general del conocimiento matemático.

El rol del análisis histórico en la predicción e interpretación de las dificultades de los estudiantes en matemáticas

Un profesor que es experto en historia de las matemáticas podría anticipar las dificultades de los estudiantes en áreas donde, históricamente, se ha requerido de mucho trabajo para superar dificultades significativas.

Algunos ejemplos estas dificultades son:

1. Los profesores son consientes que es generalmente difícil explicar el concepto de limite al inicio de los cursos elementales de calculo, ciertamente los estudiantes “saben” que el límite de 2x+3 cuando x se aproxima a 7 es 17, pero muestran dificultades a la hora de probar este resultado utilizando épsilons y deltas. Ubicando esto en el contexto, los historiadores son también consientes de que la idea formal de límite no se desarrolló hasta un siglo y medio después de la invención del cálculo de Newton y Leibniz. Durante ese período, aproximadamente entre 1670 a 1820 muchos matemáticos usaron el concepto de límite con gran entendimiento, pero no disponía de una definición de límite para probar estas afirmaciones con el rigor de los matemáticos griegos.Analizando las condiciones históricas y que el cambio de la noción intuitiva a la formal tomó a los matemáticos muchísimo tiempo nos brinda información valiosa con la cual podemos ayudarnos prediciendo e interpretando las dificultades de nuestros estudiantes al tener que hacer este cambio en pocas semanas. Una búsqueda intensiva en el desarrollo del cálculo permitió a Schneider (1988) demostrar que estas dificultades emergen del mismo obstáculo epistemológico: la ausencia de separación, en la mente de los estudiantes, entre matemáticas y un mundo de magnitudes sensibles.
   

   
2. Jean-Luc Dorier (1998) en sus estudios de cuál es la mejor forma de enseñar el concepto de dependencia e independencia lineal en Álgebra Lineal ha notado que cuando los estudiantes ingresan a la universidad frecuentemente tienen noción de estos conceptos en situaciones concretas, pero les es difícil hacer las conexiones entre estas y la definición formal.

3. En un caso más elemental los estudiantes tiene problemas cuando se hace el cambio de resolver problemas usando letras y números a problemas más abstractos de usar letras para denotar cantidades desconocidas. Radfor and Grenier (1996) diseñaron una secuencia de enseñanza creando manipulativos. Por ejemplo las cantidades desconocidas eran modeladas por un número oculto de confites en una bolsa. Estas secuencias de enseñanza fueron inspiradas por el análisis histórico del Álgebra Medieval de Italia, en particular por la idea del siglo cuarenta del matemático Antonio de Mazzinghi, quien explicó el concepto de desconocido escondiendo cantidades.
4. Anna Stard (1995) encontró que en el colegio los estudiantes pueden resolver ecuaciones lineales o sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes numéricos, pero estos presentan dificultades cuando estas poseen parámetros. Una vez más, un análisis histórico muestra que esta dificultad no es sorprendente. A pesar de que a finales del período medieval, letras y otras abreviaturas se estaban utilizando en álgebra para designar incógnitas y sus poderes, las reglas para la resolución de ecuaciones siempre fueron establecidas en términos de ejemplos concretos
   

   
5. Maz (s.f) menciona que la historia de las matemáticas puede utilizarse en el aula también como elemento motivador para que los estudiantes opinen o presenten respuestas a las situaciones con las que se enfrentaron los matemáticos de una época determinada. De otra parte, a los discentes les llama la atención conocer hechos anecdóticos, y el conocimiento de la biografía de un matemático que ha realizado aportes al área, les muestra que la construcción de un conocimiento pudo requerir toda la vida de trabajo del auto, y en ocasiones invirtió toda su vida sin lograrlo o requirió de la ayuda o sugerencia de otros. Además, menciona que la utilización de la historia de las matemáticas permite mostrar que los conocimientos matemáticos no siempre han llevado un desarrollo lineal y rápido, sino que estos se han producido por medio de estancamientos, o retrocesos en muchos casos. También se puede enfatizar en la dificultad que en ocasiones ha supuesto la aceptación de una teoría o un concepto, bien por incredulidad, o por generar un conflicto con un conocimiento antiguo, o por chocar con ciertos planteamientos filosóficos, o porque existía rivalidad y envidias entre algunos de los matemáticos de renombre.   
6. Fauvel (1991) mencionado por Maz (s.f) indica entre otras las siguientes ventajas de utilizar la historia de la matemática:

• Ayuda e incrementa la motivación para el aprendizaje.
• Muestra el aspecto humano de las matemáticas.
• Cambia en los alumnos la percepción de las matemáticas.
• Ayuda al desarrollo de un acercamiento multicultural.
• Provee la posibilidad de un trabajo interdisciplinario con otros maestros.
• El desarrollo histórico ayuda a ordenar la presentación de los tópicos en el currículo.
• Indica como los conceptos fueron desarrollándose, ayudando esto a su comprensión.
• Los alumnos sienten bienestar al realizar esto, y no hacerlo únicamente con unos problemas.

Referencias bibliográficas
Favel, J. y Maanen, J. (2000). History in Mathematics Education. The ICMI Study

Maz, A. (s.f). La historia de las matemáticas en clases: ¿por qué? y ¿para qué?. Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada. Recuperado de http://www.uco.es/~ma1mamaa/GIHEM/documentos/historia_matematicas_en_clase.pdf

Laurentian University. (s.f). Biografy Luis Radford. Recuperado de http://laurentian.ca/profs/lradford

Carmen González Argüello y la Historia de la Matemática en Costa Rica

Carmen González Argüello inició sus estudios en la Escuela Normal, en la que obtuvo el título de Profesora de Estado, posteriormente ingresó a la carrera Bachillerato y Licenciatura en Matemática Pura de la Universidad Nacional (UNA). A esta fecha tiene ya 12 años de haberse jubilado y es la primera licenciada de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UNA.

Fue pionera en el proyecto de extensión universitaria Matemática para la Enseñanza Media (MATEM) de la UNA, en el que se desempeñó como coordinadora desde 1994 al 2002 (Alfaro, Alpízar y Chavez, 2011).

En este post se expondrá la información que compartió esta destacada profesora acerca de su experiencia como estudiante de primaria, secundaria, universidad y posteriormente como docente.

Foto tomada en el curso Historia de la Matemática 2015
Escuela de Matemática, Universidad Nacional de Costa Rica

Profesora del curso: Dra. María Elena Gavarrete Villaverde

¿Cómo fueron las matemáticas que estudió en la primaria y secundaria? ¿Qué recursos utilizaban? ¿Cómo era la metodología de enseñanza, influyó en su decisión de estudiar matemática?

Fue creada en un  ambiente de maestras por sus tías. En la primaria todos los días hacia una copia y dos divisiones, además de hacer lectura en voz alta; se premiaban a quien terminara el silabario con un libro más de cuento.

En el colegio los cinco años tuvo la misma profesora de Matemática, quien mostró mucho amor hacia la asignatura; según las palabras de Doña Carmen su profesora era estricta, muy integra desde el aspecto matemático hasta como ser humano, justa y accesible a los estudiantes; se llama Mercedes Taylor y actualmente tiene alrededor de 90 años.

Adicional a lo anterior, cabe mencionar que a Doña Carmen le tocó la época de la reforma matemática en décimo año, cuando comenzó lo de la teoría de conjuntos. En noveno año recibió Lógica Matemática, y en undécimo lo que se recibía de Geometría debía ser demostrado tal cual se hace actualmente en el curso de Geometría de primer año de la carrera Enseñanza de la Matemática.

En ese momento no existían adecuaciones curriculares, y sin embargo los compañeros dieron la talla. En bachillerato la evaluación eran solo preguntas de desarrollo, tenían que resolver problemas y de vez en cuando les ponían problemas no tradicionales. Su época se caracterizaba por la solidaridad que existía entre los compañeros, recuerda que en su momento brindó centros de matemática a su grupo. 

En el año 1969 tenía que escoger entre el área de ciencias y la de letras. Sus profesores tenían miedo de que fracasara en matemáticas, y querían que estudiara para maestra de primaria, pero al final valió más su interés por la matemática. Aunque también le hubiera gustado estudiar Ingeniería civil o Arquitectura.

Cuando empieza la Teoría de Conjuntos en 1968 recibió grupos abelianos y estructuras de grupos.

Situación social política y económica de Costa Rica. 

Los estratos sociales en esa etapa eran muy marcados: los pobres, clase media y muy alta. Sin embargo todos estudiaron juntos ya que no había escuelas privadas. Se empezaban a segregar en secundaria cuando los que tenían mayor posibilidad económica asistieron a colegios privados, donde la fortaleza era el inglés. Entre los niños no había competencia por marcas y los libros de texto se heredaban a los hermanos.

Experiencia como estudiante universitario

Al ingresar a los primeros cursos ya dominaba muchos de los temas por la formación recibida en el colegio. En su plan de estudios había 2 años de física con laboratorios y los cursos eran anuales.

Cuando empezó la UNA no tenían suficientes profesores para asumir la carrera, por lo que tuvieron que traer profesores del extranjero, entre los que destacaban profesores chilenos.

En su momento estaba la discusión sobre cuál iba a ser el lema de la universidad y se decide por: “La verdad nos hace libre” primeramente en latín y posteriormente en Español.

No tenían aulas suficientes por lo que tenían que ir a las escuelas a recibir las clases. 

Como parte del sistema de evaluación tenían que hacer un examen oral por cada asignatura, si lo perdían tenían que repetir todo el año, le podían preguntar sobre cualquier cosa del curso, incluso demostraciones, aspectos didácticos, entre otros.

INCLUIR AUDIO 01:29:04 al 01:31:17

Experiencia como profesores de matemática

Su primera experiencia fue en el Liceo Samuel Sáenz, luego en el Liceo Manuel Benavides, y posteriormente en el Liceo San Isidro de Heredia. En esta experiencia como docente de secundaria aprendió a respetar que no a todo el mundo le gusta la matemática. El paso por secundaria fue breve, ya que posteriormente se insertó de lleno en la universidad.

No le tuvo miedo a dar clases, ya que había adquirido cierta experiencia con los centros que brindaba.

En sus inicios, tuvo que demostrar junto con sus compañeros de la UNA que eran buenos, ya que en ese momento nadie creía en los estudiantes de la Universidad Nacional. Dio clases en la UCR, pero siempre fueron probados sobre qué tan profesionales eran, por lo que tuvieron que trabajar mucho para cambiar esa imagen. A nivel de secundaria solo les daban sétimo año, porque decían que si pasaba algo, se podía "arreglar" en los años siguientes.


Matemática en otros países

Participó en el RELME lo que le permitió conocer que en México hacían mucha investigación en el área educativa hasta la actualidad, al igual que los chilenos y los argentinos.

Recursos didácticos utilizados en la época

Básicamente los recursos didácticos eran la tiza y el borrador, en cuanto a la tecnología utilizaban tarjetas perforadas y la calculadora en los últimos años de la universidad; los libros que conseguían eran muy buenos, especialmente traducidos del francés.

Debido a lo anterior a los estudiantes de Matemática Pura les pedían dos idiomas: inglés y francés, por la influencia de la escuela francesa como de la de habla inglesa. 

Las clases que recibió fueron de corte magistral.

Filosofía de trabajo

INCLUIR AUDIO 02:25:20 al 02:26:43

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Referencias bibliográficas

Alfaro, A. L., Alpízar, M. y Chávez, L.  (2011). Historia y perspectivas del proyecto        Matemática para la Enseñanza Media MATEM de la Universidad Nacional en Costa Rica.  Cuadernos de investigación y Formación en Educación Matemática, 6(1), 121-140. Recuperado de http://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/view/6963

¿Fueron los Pitagóricos asesinos?

Según Spanchez y Valdive (s.f) un estudiante de Pitágoras llamado Hipaso de Metaponto descubrió los números irracionales, intentando escribir la raíz cuadrada de 2 en forma de fracción, pero en su lugar demostró que no se puede escribir como el cociente de dos números enteros.

 El bueno de Hipaso, se entusiasmó con su descubrimiento, había descubierto un número que violaba las divinas propiedades de los números naturales. Pues nada, hizo lo que a cualquiera se le hubiera ocurrido, se lo contó a sus compañeros y les mostró su demostración. Se dice que los pitagóricos, al ver ese descubrimiento sentían que tiraban por los suelos su paraíso numérico, por lo cual decidieron eliminar a Hipaso inmediatamente, tirándolo al mar por la borda, debido a que había revelado fuera de la secta esta catástrofe pitagórica, aunque otras fuentes aseguran que lo que hicieron los pitagóricos fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto. Hasta se comenta que Hipaso podría haberse suicidado. Sea como sea, la raíz de la muerte de Hipaso para lo pitagóricos, ya fuera ideológica o real, fue ese número irracional.

Referencias bibliográficas

Ministerio de Educación Púbica de Costa Rica (2011). Programa de Estudio. Tercer ciclo. Matemática. Costa Rica: autor.

Sánchez, J.C., Valdivé, C. (s.f). El número irracional: Una visión histórico-didáctica. Venezuela: Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Recuperado de http://www.soarem.org.ar/Documentos/52%20Sanchez.pdf

¿Sabes quién fue el matemático Brahmagupta?

Imagen tomada de http://www.famousscientists.org/brahmagupta/

Sin duda, unas de las preguntas que comúnmente nos realizamos es quién descubrió y/o creo tantas cosas en matemática, por supuesto que la matemática no es el trabajo de una sola persona, ni tampoco es algo que se creó que la noche a la mañana. En este post vamos a describir quién era y cuáles fueron los aportes que realizó Brahmagupta a esta área del conocimiento.

Antes de iniciar con el objetivo de este post, cabe mencionar que según Sánchez (s.f.) la cronología hindú es muy insegura y brinda como ejemplo el material que aparece en el importante manuscrito de Bakshali, que contiene una aritmética anónima, que data, según algunos historiadores, del siglo III o IV; según otros, del siglo VI; según otros, del siglo VIII o IX o más tarde aún, y hay incluso opiniones que mantienen que puede no ser ni siquiera de origen hindú. Debido a lo anterior, las fechas que tomaremos aquí son probablemente una aproximación.

Hechos históricos sociopolíticos, socioeconómicos, ideológicos de la época

Para Sánchez (s.f) esta época (500-1200d.c.), es la más importante en la India en lo que se refiere a las matemáticas, ya que anterior al 500d.c. sólo se sabe que había cierta cultura (excavaciones de Mohenjo Daro) y la existencia de los Sulvasutras o reglas de la cuerda, así como de los Siddhantas o sistemas astronómicos; tenemos pocos escritos y textos de esta época.

Posterior al 1200d.c se sabe que vivieron matemáticos indios, pero no de la talla de los de la época (500-1200d.c); esta por ejemplo Ramanujan (sigloXX).

Sabemos que el sistema de numeración arábiga, aunque de hecho se originó en la India, fue adoptado en esta época por la civilización islámica y después transmitido a occidente, donde, desde entonces, ha venido siendo utilizado académica y regularmente.

Los números naturales son de lo más importante que adoptó la matemática india. Entre las operaciones aritméticas cabe destacar la multiplicación en celosía, en celdilla o en cuadrilátero, y la división larga o método de la galera.

La astronomía también juega un papel muy importante en la India, tanto, que era su principal herramienta para combinarla con las matemáticas y obtener así lo que deseaban en algunos casos

Y finalmente, aunque no menos importantes, también existieron otros matemáticos (en algunos casos con mucha sabiduría en astronomía) que pusieron su granito de arena en el desarrollo de las matemáticas, aunque en algunos casos ni siquiera se saben aproximadamente sus fechas de nacimiento o muerte y si fueron simplemente matemáticos o algo más (obispos, artesanos, sacerdotes, etc.); este es el caso de Baudhayana, Lalla, etc.

Brahmagupta compuso principalmente dos trabajos, uno llamado Brahmasphutasiddhanta en el 628, este trabajo también se denominó La apertura del Universo y lo escribió en 25 capítulos,  Bramahgupta nos dice en el texto que lo escribió a Bhillamala, que hoy es la ciudad de Bhinmal y el Khandakhadyaka en 665.

Dichos escritos fueron hechos enteramente en versos. A continuación veremos algunos de ellos

Según Boyer (2007) Brahmagupta menciona dos valores de pi, un valor práctico de 3 y un valor exacto de raíz cuadrada de 10. Además, calcula el área de un triángulo bruta multiplicando la mitad de la base por la media aritmética de los otros dos lados.

El resultado quizá más bello en la obra de Brahmagupta es su generalización de la Fórmula de Herón para calcular el área de un cuadrilátero, aunque este reconocimiento queda empañado por su fracaso en darse cuenta de que tal fórmula solo es correcta en el caso de un cuadrilátero cíclico.

   Brahmagupta estableció reglas para trabajar con números positivos y negativos, tales como:

Boyer (2007) además menciona que cabe admirar aún más su actitud matemática al descubrir que él fue aparentemente el primero que dio una solución general de la ecuación diofántica lineal ax+by = c con a, b y c enteros .Para que esta ecuación tenga soluciones enteras , el máximo común divisor de a y b debe dividir a c y Brahmagupta sabía que si a y b son primos entre sí, entonces  todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por las formulas x = p+mb, y =q-ma, donde m es un entero arbitrario.

Es muy notable el mérito de Brahmagupta al dar todas las soluciones enteras de la 

ecuación diofántica lineal, mientras que Diofanto se había contentado con dar una 

única solución particular de una ecuación indeterminada .

Nota: Todas las imágenes utilizadas para realizar los distintos esquemas presentes en este blog fueron tomadas de internet.


Refencias bibliográficas

Boyer, C. (2007). Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial.

Hockey, T. (2007). Biographical Encyclopedia of Astronomers. Springer Science & Business Media. Recuperado de  https://books.google.co.cr/books?id=t-BF1CHkc50C&pg=PA165&lpg=PA165&dq=Biography+Brahmagupta&source=bl&ots=mg49i1TtD5&sig=ouA1nDKhjxSSbTGheVQ7VcEJJFY&hl=en&sa=X&ei=r7rzVMjkJtXnoATRsoGQCQ&ved=0CFEQ6AEwCTgK#v=onepage&q=Biography%20Brahmagupta&f=false

Famous Scientists. (s.f). Brahmagupta. Recuperado de http://www.famousscientists.org/brahmagupta/

Sanchez, J.A. (s.f.). La Matemática en la India: 500 dc a 1200 dc. Universidad de Castilla- La Mancha. Recuperado de http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/4/4_matematica_india.pdf. 

Profe, ¿por qué se utiliza la Z para denotar el conjunto de los números enteros?

En algunas ocasiones los estudiantes de sétimo tienden a realizar esta pregunta, asociando el hecho de que si los números naturales se representan con N, por qué los enteros no se representan con E.

Bueno, antes de dar respuesta a esta pregunta, recordemos que en la antigüedad no existían los sistemas de numeración tal cual los conocemos hoy. En El Maestro en Casa (2004) se cita que la matemática, en sus inicios, surgió como una respuesta a las necesidades de la vida práctica de nuestros antepasados, tales como el conteo de ovejas y de la agricultura. Los símbolos numéricos que se utilizan actualmente son de origen hindú, loa árabes sirvieron de medio para transmitirlos de Oriente a Occidente.

En el video adjunto, se menciona que el alemán Michael Stifel,  fue uno de los primeros en admitir el uso del signo menos “―” para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso  entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. 

Probablemente Stifel fue quien inventó el símbolo de los números enteros, debido a que la Z proviene de la inicial de la palabra alemana Zhal, cuya traducción en español es número. Más información en Historia de los Número Enteros

Referencias bibliográficas

Maestro en Casa. (2004). Matemática Térraba. Costa Rica: Editorial ICER.

Salinas, A. (s.f). ¿Por qué los números enteros se representan con una Z?. Comisión Nacional de Investigación Científica  y  Tecnológica  de Chile. Recuperado de http://www.explora.cl/descubre/respuestas-de-un-cientifico/numeros-preguntas/matematicas-preguntas/1386-por-que-los-numeros-enteros-se-representan-con-una-z